私は令和3年2月10日に鯖江市からA市へ 引っ越しましたが、令和3年度の市県民税は鯖江市とA市のどちらへ納めることになりますか？

市県民税は、その年の1月1日に住民票がある市町村で課税されます。
令和3年1月1日現在、鯖江市に住民票がある場合は、令和3年度の市県民税は全額を鯖江市に納めることになります。